Фамилия Амшонков — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все прочие версии. Основа здесь — тюркское или арабское имя Амшон (варианты: Амшан, Амша). В русской среде такие имена давали крещёным татарам, башкирам или выходцам из Золотой Орды, которые переходили на службу к московским князьям. Суффикс -ов указывает на типичную модель образования: Амшонков — сын Амшона.

Сложность в том, что имя Амшон не зафиксировано в распространённых православных святцах, а значит, оно либо мирское, либо заимствованное. Есть вероятность, что это искажённое Амвросий или Амос, но тогда фамилия звучала бы как Амвросьев или Амосов. Поэтому версия с тюркским корнем выглядит убедительнее. В ономастике известен принцип: чем реже фамилия, тем выше шанс, что её основа — некалендарное прозвище или этноним, а не крестильное имя.

Интересная деталь: фамилия Амшонков почти не встречается за пределами бывшей Казанской губернии и соседних областей Поволжья. Это сужает круг поисков для носителя. Если ваши предки — из Татарстана, Чувашии или Нижегородской области, то, скорее всего, они происходят из среды служилых татар или крещёных чувашей, получивших фамилию по имени родоначальника. Других версий — от прозвища «амша» (что-то мелкое, незначительное) или от названия населённого пункта — нет, потому что ни в одном словаре топонимов не зафиксировано села или деревни с похожим корнем.