Фамилия Амягина образована от мужского мирского имени Амяга. В основе этого имени лежит нарицательное «омяга» — в акающих говорах оно превратилось в «амяга». Омягой в старину называли слабость, усталость, изнурение. Казалось бы, странно давать ребёнку имя с таким значением, но здесь работает древний охранительный принцип: родители нарекали сына Амягой, чтобы злые силы не позарились на «слабого» и не навредили ему, а мальчик на самом деле рос бодрым и здоровым. Это типичный случай обратного именования-оберега, хорошо известный в восточнославянской ономастике.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Амягин — «чей?» — «сын Амяги». Такая модель характерна для русских фамилий, образованных от имён и прозвищ, оканчивающихся на -а. Если бы имя звучало иначе, скажем, Амяг, фамилия скорее получила бы суффикс -ов, но именно форма Амяга дала -ин.

Встречается ли фамилия за пределами привычного ареала? Скорее всего, её носители сосредоточены в регионах, где было распространено акающее произношение — это центральные и южные области России. В северных говорах, где окают, имя звучало бы как Омяга, и фамилия писалась бы Омягин.

У фамилии есть однокоренные «родственники»: Омягин, Амягов, Омягов — все они восходят к той же основе «омяга». Разница в написании и суффиксе объясняется местными диалектными особенностями и тем, как именно записали имя предка в документах.