Фамилия Амягин — относительно редкий пример русской фамилии, образованной от мирского имени-оберега. В её основе лежит имя Амяга, которое, в свою очередь, восходит к диалектному слову «омяга» (в акающих говорах — «амяга»). В старину омягой называли слабость, усталость, изнурение. Казалось бы, странная основа для имени, но здесь срабатывала обратная логика: родители нарекали ребёнка Амягой, чтобы «обмануть» злых духов и отвести от него настоящие хвори. Считалось, что имя со значением «слабость» защитит мальчика и подарит ему здоровье и бодрость — как бы наперекор смыслу. По этой же модели возникли фамилии Некрасов (от имени Некрас — «некрасивый») или Горемыкин.

Словообразовательная модель типична для русского севера и центральных областей: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей потомок?» — Амягин). Ударение в фамилии, скорее всего, падает на второй слог: Амя́гин.

Других версий происхождения, например от тюркских или финно-угорских корней, у этой фамилии нет — основа прозрачно славянская, диалектная. Встречается она нечасто, и это неудивительно: само имя Амяга давно вышло из употребления, а фамилия сохранилась как осколок древней народной традиции давать детям «обманные» имена.