Фамилия Амяго — редкий случай, когда написание почти не скрывает иноземного происхождения. В русском языке нет корня «амяг-», а сочетание «мяг» на конце основы сразу же наводит на мысль о заимствовании. Скорее всего, перед нами фамилия польского или белорусского корня, адаптированная к русской графике.

В польском и западнорусском (старобелорусском) языках существовало слово «amiąg» или «amięg» — так называли омелу, вечнозелёное растение-паразит, которому в народной культуре приписывали магические и целебные свойства. Человек мог получить прозвище Амяга за профессию (сборщик омелы для знахаря), за место жительства (дом возле зарослей омелы) или за внешнюю особенность — например, за привычку постоянно носить с собой веточку омелы как оберег. Фамилия образована по типичной восточнославянской модели: прозвище Амяга + суффикс принадлежности -ин, который в этой позиции даёт форму Амягин или, при стяжении, Амяго. В белорусской и польской традиции фамилии на -о нередки и означают «чей?» — то есть Амяго буквально «сын или потомок Амяги».

Есть и другая, менее очевидная версия. В северо-западных говорах (псковских, новгородских) «мягкий» произносили как «мягой», а с аканьем — «амягой». В таком случае прозвище Амяго могло достаться человеку с мягким характером, уступчивому или, наоборот, с ироничным подтекстом — большому и грубому, которого в насмешку назвали «мягким». Эта гипотеза слабее, потому что фамилий от прилагательных в форме именительного падежа единственного числа в русской традиции почти не бывает: обычно берут родительный падеж («Мягкова», «Мягких»).

Географически фамилия Амяго тяготеет к западным регионам бывшей Речи Посполитой — современным Беларуси, Польше, Смоленщине. В России она встречается единично, и часто её носители — потомки переселенцев начала XX века. По сословию предки могли быть крестьянами или мещанами, но точных данных нет: фамилия слишком редкая для статистических обобщений. Если вы носите эту фамилию, скорее всего, в вашем роду был человек с прозвищем от омелы — растение это в славянском фольклоре считалось и лечебным, и опасным, так что прозвище могло быть уважительным, а могло и дразнилкой.