Фамилия Амзин образована от имени или прозвища Амза. Это краткий, диалектный вариант тюркского мужского имени Хамза, которое восходит к арабскому слову со значением «острый», «обжигающий». В этом случае фамилия отвечает на вопрос «чей?» и означает «потомок Хамзы (Амзы)».

Есть и другая версия. Слово «хамза» на тюркских языках могло обозначать лекарственное растение. Если так, то прозвище Амза давали не по имени, а по занятию. Его мог получить человек, который собирал травы, лечил людей или разбирался в народной медицине. Такие прозвища, указывающие на ремесло, часто закреплялись за родом и переходили в фамилию.

Фамилия Амзин — это типичная русская патронимическая форма на -ин. Она показывает, что предок носителя фамилии был известен в своей общине под именем или прозвищем Амза. Встречается она преимущественно в регионах, где исторически были сильны тюркские языковые влияния: в Поволжье, на Урале, в южных областях России.