Фамилия Анчихрова ведет начало от редкого старинного имени Анчихр. Это имя — результат долгой народной переработки канонического имени Онисифор, которое в переводе с греческого означает «полезный». В древнерусском языке, особенно на новгородских и псковских землях, имя Онисифор превратилось в просторечную форму Анцифер. Затем, в ходе дальнейших языковых изменений, появились варианты Анчифер и Анчифр, а уже от них — самая краткая форма Анчихр. Именно она и легла в основу фамилии.

Сам Онисифор, согласно преданию, скончался в 1148 году и был погребен в Ближних пещерах Киево-Печерской лавры рядом с преподобным Спиридоном. В народной среде это имя, как и многие другие, упрощалось и сокращалось, и Анчихр — один из таких просторечных вариантов. Потомок человека по имени Анчихр со временем получал прозвание Анчихров, которое закрепилось как фамилия.

Среди архивных документов встречаются конкретные сведения о носителях этой фамилии. В архивах Пензенского общества «Мемориал» записан Анчихров Антон Евстигнеевич, родившийся в 1875 году в деревне Красавка Чембарского района Пензенской области. Эта запись указывает на то, что фамилия бытовала в центральной России, а ее носители были крестьянами или мещанами.

Словообразовательная модель фамилии проста: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?»), то есть Анчихров — сын Анчихра. Это типичная русская патронимическая фамилия, образованная от полной формы имени без дополнительных уменьшительных суффиксов. Редкость исходного имени Анчихр делает фамилию Анчихрова одной из тех, что сохранили в себе следы живого народного словообразования, почти исчезнувшего из современного именослова.