Фамилия Анчис — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В русском контексте она почти наверняка не исконно русская, а пришла из другого языка, скорее всего, из польского, литовского или белорусского. В этом и заключается её главная особенность: суффикс -ис характерен для литовских и жемайтийских фамилий (например, Антанас, Будрис). Если же перед нами польский или белорусский вариант, то -ис мог возникнуть на месте -ич или -ец в результате фонетических изменений.

Основа фамилии — «Анч-». Самое вероятное объяснение: это краткая форма от имени Антон или Андрей. В польском и литовском языках уменьшительные имена нередко усекались до первого слога с добавлением суффикса. Антоний мог превратиться в Анч, а от него — Анчис, то есть «сын Анча» или «маленький Анч». Эта модель широко распространена в Восточной Европе: ср. польские фамилии Анчек, Анчковский, литовские Анчайтис.

Менее вероятная, но возможная версия — от литовского слова «antis» (утка) с изменением корня. В таком случае Анчис — прозвище человека, похожего на утку (походка, голос), или же того, кто разводил уток. Однако для прозвищ чаще использовали суффикс -утис (Антутис), так что этот вариант стоит считать второстепенным.

Сословная принадлежность предков-носителей фамилии Анчис — скорее всего, крестьянская или мещанская. В дворянских гербовниках Российской империи такая фамилия не зафиксирована. Географически она тяготеет к бывшим землям Великого княжества Литовского: современные Литва, западная Беларусь, северо-восток Польши. В России Анчис встречается единично, чаще всего у потомков переселенцев из этих регионов.

Фамилия не меняла формы по падежам: в отличие от русских фамилий на -ов/-ин, Анчис склоняется по правилам существительных мужского рода (Анчиса, Анчису и т.д.). Это ещё один признак её иноязычного происхождения.