Фамилия Андощук — западный, скорее всего, украинский или белорусский след, и её разговорная форма сразу выдает регион. В основе лежит суффикс -ук/-щук, который в этих землях был главным маркером принадлежности: «чей?» — «Андощин», то есть сын или потомок человека по имени Андощ.

Имя Андощ — это не каноническое церковное, а народная, бытовая форма. Скорее всего, она восходит к крестильному имени Андрей через его уменьшительные варианты: Андрей → Андрош → Андош → Андощ. В польском и украинском языках звук «щ» часто появлялся на месте мягкого «ш» в ласкательных формах (сравните: Матвей → Матюша → Матюща). Поэтому Андощук — это «внук Андрея», но через цепочку местных переделок имени.

Реже, но нельзя исключать связь с прозвищем от диалектного глагола «андощить» — в некоторых говорах так могли называть человека, который копается, возится, делает что-то неспешно. Однако эта версия слабее: фамилии с таким корнем в ономастических справочниках чаще связывают именно с именем Андрей, а не с глаголом, который к тому же не зафиксирован как общеупотребительный.

Географически фамилия тяготеет к Волыни, Западной Беларуси и югу Польши. Встречается в записях XIX века среди крестьян и мещан — то есть людей, которые не принадлежали к дворянству и получали фамилию по отцу или деду, без искусственных «-ский» окончаний. В России фамилия редкая, чаще её можно встретить в сибирских регионах, куда переселялись украинцы в ходе столыпинской реформы.

Интересная деталь: написание через «о» (Андощук, а не Андащук) указывает на то, что в основе лежал именно звук [о] в безударной позиции, который на письме сохранился. Если бы фамилия формировалась на юге Украины, где «аканье» сильнее, мог бы появиться вариант Андащук, но его почти нет в документах. Это лишний раз подтверждает, что носители фамилии — выходцы из северо-западных земель, где «о» произносили чётко даже без ударения.