Фамилия Анкифьев — редкий случай, когда привычное русское окончание скрывает имя с совсем другой историей. Это отчество второго порядка: сначала от имени Анкиф образовали отчество Анкифьев, а затем закрепили его как фамилию. Имя Анкиф — это народная, обиходная форма канонического крестильного имени Иоанникий (в просторечии — Анникий, затем Анкиф). Иоанникий — имя греческого происхождения, означающее «победа» или «победитель». В святцах оно встречается, но широкого распространения в народе не получило, поэтому и дало так много искажённых форм: помимо Анкифа, это Анников, Анищев, Анкифоров (путаница с Анкифором — формой имени Никифор).

Анкифьев стоит в этом ряду особняком благодаря редкому суффиксу -ев. В русских фамилиях -ев обычно присоединялся к основам на мягкий согласный (как в «Иванов» — от твёрдого, но «Андреев» — от мягкого). В имени Анкиф звук «ф» твёрдый, но в живой речи произношение смягчалось — отсюда и форма Анкифьев, а не Анкифов. Эта особенность выдает народную фонетику: крестьяне произносили имя скорее как «Анкифь», чем «Анкиф», что и закрепилось в фамилии.

Географически фамилия тяготеет к старообрядческим регионам и северным областям России. Встречается в Архангельской, Вологодской губерниях, а также на Урале — там, где дольше сохранялись архаичные формы имён. В XIX веке носители фамилии были в основном крестьянами и мещанами, но встречались и среди купечества, особенно в сибирских городах. Имя Иоанникий не было частым, поэтому фамилия осталась редкой — её носители вряд ли имели много однофамильцев в одном селе.

Словообразовательная модель типична для XVI–XVII веков: сначала от имени Анкиф образовали отчество с суффиксом -ев (чей сын? — Анкифьев), потом это отчество перешло в фамилию. Таким образом, первый носитель фамилии был, скорее всего, сыном человека по имени Анкиф — то есть Иоанникия. Учитывая редкость имени, можно предположить, что родоначальник был либо из духовного сословия (где чаще давали редкие святые имена), либо из среды, где имя передавали по традиции нескольких поколений.

В современной России фамилия редкая. Если вы Анкифьев, то ваша фамилия — прямой потомок византийского имени, прошедшего через горнило русской народной фонетики и сохранившегося в почти неизменном виде с XVII века.