Фамилия Анкирская — женская форма, поэтому её разумнее рассматривать через мужской вариант Анкирский. Она принадлежит к распространённому типу русских фамилий на -ский/-ская. Этот суффикс в массе своей указывает на дворянское или, что вероятнее в данном случае, духовное происхождение. Так называли владельцев поместий по названию имения, но чаще — выпускников семинарий, получавших фамилию по церковному празднику, иконе или географическому объекту.

Основа фамилии — Анкир. Скорее всего, это не русское прозвище, а топоним или имя. Самая вероятная версия: от названия города Анкира (древнее название современной Анкары, столицы Турции). В православных святцах есть святые, связанные с этим городом, например, мученик Анкирский (IV век). Семинаристы нередко получали фамилии по именам почитаемых святых или по месту их подвига. Поэтому Анкирский мог быть «искусственной» семинарской фамилией, данной выпускнику духовного училища в честь святого Анкирского. Такая практика была массовой в XVIII–XIX веках: ученикам, не имевшим наследственной фамилии, давали новые по календарю, и Анкирский — один из таких книжных, «церковных» вариантов.

Менее вероятно, но возможно: фамилия могла произойти от прозвища Анкир. В русских говорах слово «анкир» (или «анкер») фиксируется в значении «мера жидкости» или «якорь» (от немецкого Anker). Однако для фамилии на -ский такая бытовая основа нетипична — обычно прозвища оформляются суффиксами -ов/-ев или -ин. Если бы предок был связан с бочками или якорями, мы бы скорее увидели Анкирова или Анкирина.

Географически фамилия редкая. Встречается в основном в центральной России и Поволжье, что косвенно подтверждает её семинарское происхождение: духовные школы в этих регионах давали много фамилий на -ский по календарным именам. В дворянских родословных Анкирские не зафиксированы — это почти наверняка фамилия из духовного сословия, которая позже закрепилась за потомками священников и церковнослужителей. Со временем, после отмены сословных ограничений, она перешла и в другие слои, но корни её стоит искать в церковной среде, а не в поместном землевладении.