Фамилия Анрийчук — одна из тех, где сразу бросается в глаза необычная основа. В русском и украинском ономастиконе фамилии на -чук чаще всего образуются от крестильных имён (Иванчук, Павлюк) или прозвищ (Бондарчук, Ковальчук). Но «Анрий» — это нестандартный вариант.

Скорее всего, в основе лежит имя Андрей, но в диалектной или упрощённой форме. В украинских говорах, особенно западных, имя Андрей могло звучать как «Андрiй», а при быстром произношении или записи «на слух» начальное «Анд-» стягивалось в «Ан-» или «Анр-». Встречаются варианты Анрiй, Онрiй, Андей. Фамилия Анрийчук тогда означает «потомок Анрия», то есть Андрея. Суффикс -чук (как и в фамилиях Гаврилюк, Данилюк) типичен для Подолья, Волыни и Галичины и указывает на сына или ученика.

Менее вероятная версия — связь с польским словом «anry» (нечто нелепое, несуразное) или с редким прозвищем от «анреальный» (нереальный), но это уже домыслы без опоры на реальную антропонимику. Первая версия прочнее: она опирается на живую народную переделку имени Андрей, которая дала целый ряд фамилий — Андрейчук, Андрийчук, Андрух, Андрусик и вот теперь Анрийчук.

Фамилия редкая, встречается в основном в западных областях Украины. Носитель такой фамилии, скорее всего, потомок человека по имени Андрей, чьё имя в местном говоре записали как Анрий. Так что за необычным звучанием стоит обычное крестильное имя, просто изменённое живой речью.