Фамилия Анзыряев — редкий пример отфамильного имени, в основе которого почти наверняка лежит тюркское или монгольское личное имя. Скорее всего, это вариант имени Анзыр, Анзыряй, которое можно связать с древнетюркским словом «ан» (зверь, дичь) или «анзы» (охота). В таком случае прозвище Анзыряй означало «охотник», «зверолов» — занятие, имевшее большое значение в кочевых и полукочевых обществах Поволжья, Приуралья и Сибири.

Обратим внимание на суффикс. Форма Анзыряев — это русский патроним на -ев, образованный от прозвища или имени Анзыряй (с чередованием й/ев). Суффикс -яй характерен для тюркских имён, адаптированных в русской среде: вспомним фамилии Батыряев, Кутлузяев, Сюндюряев. Такие имена часто давали детям в татарских, башкирских, чувашских или казахских семьях, а затем, при переходе в православие или при записи в русские документы, к основе прибавляли русский фамильный суффикс.

Географически фамилия Анзыряев тяготеет к регионам с сильным тюркским субстратом: вероятнее всего, её носители живут в Оренбургской, Челябинской областях, Башкортостане или Татарстане. Встречается она крайне редко — по открытым данным, не более нескольких десятков человек на всю Россию. Это говорит о том, что фамилия не разошлась широко по стране и сохранила локальный, возможно, даже родовой характер.

Вторая, менее вероятная версия — что основа восходит к диалектному русскому слову «анзырь» (капризный, своенравный человек) или «анзыря» (непоседа). Однако такая трактовка не подкрепляется ни словарями русских говоров, ни ономастическими справочниками. Зато тюркский корень «ан» (зверь) встречается в десятках фамилий и имён, что делает версию «охотник» основной.

Если ваши предки носили фамилию Анзыряев, скорее всего, они были выходцами из среды, где охота или скотоводство играли ключевую роль, а сама фамилия закрепилась за одним конкретным родом не позднее XVIII–XIX веков, когда массово оформлялись русские фамилии у нерусских народов империи.