Фамилия Апашинина — женская форма, восходящая к мужской Апашинин, а та, в свою очередь, образована от прозвища или обиходного имени Апаша. Разбираем эту цепочку по косточкам. В основе почти наверняка лежит краткая, «домашняя» версия одного из двух крестильных имён: Афанасий (в народном произношении — Апанас) или Аполлон (Аполлоша, сокращённо — Апоша). Русские говоры, особенно северные, не любили длинные церковные имена и «обкатывали» их до коротких и ласковых форм: Афанасий превращался в Апанаса, а затем и в Апашу. Так Апаша — это не имя само по себе, а ласковое бытовое обращение к человеку, которого крестили полным именем.

Суффикс -ин в мужской форме Апашинин работает по классической русской модели принадлежности: «чей сын?» — Апашинин, то есть потомок Апаши. Эта модель особенно характерна для фамилий, закрепившихся в северных и центральных губерниях, где отчество отца или его прозвище становилось фамилией детей. Форма Апашинина — это уже грамматический вариант, закреплённый за женщиной, но в исторических документах фамилия свободно склонялась по падежам.

География бытования фамилии редкая и показательная. Основные очаги — Вологодская, Архангельская и Кировская области. Это косвенно подтверждает северное происхождение: именно в этих краях имя Афанасий было особенно популярно, а местные говоры активно «сжимали» длинные имена до коротких бытовых форм вроде Апаша. Носители фамилии — скорее всего, потомки крестьян или ремесленников из северных губерний, где фамилии закрепились поздно, часто уже в XIX веке, и несли прямую отсылку к имени или прозвищу родоначальника.

Спорных версий немного, и одна из них — тюркская. Иногда Апашу пытаются связать с тюркским словом «апа» (старшая сестра, мать). Но для русской фамилии это маловероятно: суффикс -ин в таком случае указывал бы на женскую основу, а не на мужское прозвище, да и в тюркских языках «апа» — женского рода, фамилия от него строилась бы иначе (например, Апаев). Правдоподобнее и проще видеть в основе русское уменьшительное имя — без натяжек и экзотики.