Фамилия Апашов — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение ведёт скорее не к личному имени, а к прозвищу или этнониму. Основа «апаш» имеет несколько значений, и разобраться помогает география и история слова.

Самая прямая версия: в основе лежит слово «апаш» — так в XIX веке в России называли парижских хулиганов и карманников, а позднее — вообще любого жулика или босяка. Слово пришло из французского «apache» (по названию индейского племени апачи, которое в европейской прессе ассоциировали с дикостью и разбоем). В русском языке оно прижилось в значении «беспризорник, уличный грабитель». Прозвище Апаш могли дать человеку с соответствующим поведением или внешностью — не обязательно криминальной, но, скажем, дерзкой, неопрятной или цыганистой. По этой модели образованы многие «криминальные» фамилии (Вор, Разбойников, Жулик), и Апашов — одна из них. Суффикс «-ов» стандартно указывает на принадлежность: «сын Апаша».

Вторая версия связывает фамилию с тюркским корнем. В ряде тюркских языков «апа» означает «старшая сестра», «бабушка» или почтительное обращение к женщине. В этом случае Апаш — человек, находящийся под покровительством старшей женщины, либо её сын (сравните с фамилиями Апаев, Апанин). Однако тюркские фамилии чаще оформляются суффиксом «-ев» (Апашев), а «-ов» — типично русское окончание, что делает эту версию менее вероятной для фамилии Апашов.

Третья, более экзотическая гипотеза — от названия индейского племени «апачи». Слово «апаш» могло попасть в русские говоры как прозвище человека с длинными волосами, воинственным нравом или просто как дань моде на «индейскую» романтику в начале XX века. Но эта версия слаба: фамилия фиксируется в документах раньше, чем слово «апаш» стало широко известно в России (фамилия встречается уже в XIX веке).

Фамилия Апашов встречается крайне редко и географически разбросана. Основные очаги — Поволжье (особенно Самарская и Саратовская области) и юг России. В этих регионах слово «апаш» могло бытовать в значении «бродяга» или «бедняк», что подтверждает первую версию. Дворянских родов с такой фамилией нет — это однозначно крестьянская или мещанская фамилия, возникшая в среде, где прозвища давали по поведению или образу жизни.

В словаре русских фамилий Б. Унбегауна фамилия не упоминается, что говорит о её локальном характере. Более вероятно, что Апашов — это «прозвищная» фамилия, образованная от слова с негативной или ироничной окраской, что типично для русской ономастики.