Фамилия Апазиди — редкий пример греческой по происхождению фамилии, которая бытует в русскоязычной среде. Её основа, скорее всего, восходит к греческому слову «апазейя» (ἀπάθεια), которое переводится как «бесчувственность», «бесстрастие» или «тупость». В античной философии, особенно у стоиков, апатия означала отсутствие страстей и считалась добродетелью, но в бытовом языке слово могло иметь и отрицательный оттенок.

Самый правдоподобный сценарий появления фамилии — это охранительная традиция именования. Родители намеренно давали ребёнку имя или прозвище Апаз с «плохим» значением, чтобы обмануть злых духов: считалось, что обладателя такого имени не стоит похищать или сглаживать, раз он и так «тупой» или «бесчувственный». На деле же желали мальчику обратного — ума, здоровья и доброты. Подобный обычай широко распространён у многих народов, и греки не исключение.

Формант -иди — типичный греческий суффикс, указывающий на принадлежность к роду или происхождение (сравните с фамилиями Хаджиди, Павлиди). Он выполняет ту же роль, что русские -ов/-ев или -ин: буквально «из рода Апазов» или «сын Апаза». Сочетание греческой основы с этим суффиксом однозначно говорит о том, что фамилия сложилась в греческой среде, скорее всего, у понтийских греков или греков Причерноморья.

В Россию и страны бывшего СССР фамилия попала вместе с волнами греческой миграции — в основном это переселение понтийских греков из Турции в XIX — начале XX века и репатриация советских греков в 1930–1940-е годы. Поэтому географически носители Апазиди сосредоточены в регионах, где исторически селились греки: в Краснодарском крае, Крыму, Донецкой области, Грузии.

Иных версий происхождения, например от тюркского корня или от греческого имени Апаз (сокращение от Афанасий), нет серьёзных оснований рассматривать: суффикс -иди и семантика «апазейя» дают более прямую и логичную линию. Фамилия редкая, и в открытых источниках почти нет сведений о её известных носителях, что только подтверждает её узколокальный и охранительный характер.