Фамилия Апимахов — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет типичного для русских фамилий суффикса -ов-/-ев- в чистом виде: -махов — это не суффикс, а часть основы. Чтобы разобраться, нужно отсечь родовое окончание -ов и посмотреть на корень.

Самая вероятная версия — фамилия образована от прозвища или мирского имени Апимах. В его основе лежит греческое имя Эпимах (Epimachos), что переводится как «сражающийся после» или «идущий в бой следом». В православных святцах есть святой Эпимах, но имя это было редким и в просторечии могло трансформироваться: начальное «Э» перешло в «А», а окончание упростилось до -ах. Так появилось имя Апимах, от которого и пошла фамилия. Носитель такого имени или прозвища, скорее всего, был грамотным церковным человеком или происходил из среды, где давали «календарные» имена, пусть и в народной обработке.

Другая, менее вероятная версия отталкивается от глагола «махать» или существительного «мах» (один мах, взмах). Но приставка Апи- для русского языка нехарактерна: в старых говорах встречается форма «опимах» (обнимать, охватывать), но она диалектная и плохо стыкуется с фамильным суффиксом. Если бы фамилия была от «махать», мы бы ожидали Махов или Махаев, а не Апимахов.

Географически фамилия встречается точечно — в основном на юге России и в Поволжье, что косвенно подтверждает версию с греческим корнем: именно в этих регионах, через казачество и духовенство, могли сохраняться редкие календарные имена. По сословной принадлежности предки Апимаховых могли быть либо священнослужителями (где греческие имена давали чаще), либо крестьянами, получившими фамилию по имени отца, записанному в церковной книге.

Таким образом, Апимахов — это отчество от редкого крестильного имени, которое в русском быту превратилось из Эпимаха в Апимаха. Фамилия хранит след греческого влияния на русскую ономастику и не имеет отношения к «маханию» или «обниманию».