Фамилия Апорншина — редкий случай, когда написание почти полностью скрывает происхождение. Если смотреть на окончание, всё просто: -ин указывает на принадлежность, то есть «чей?» — Апорншин. Значит, предок носителя фамилии был Апорнша. А вот что такое «Апорнша» — вопрос, требующий разбора.

Скорее всего, перед нами вариант фамилии, образованной от прозвища или имени, которое в устной речи подверглось сильному искажению. Наиболее правдоподобная версия — связь с диалектным словом «апорт» (сорт яблок). В некоторых говорах «апортом» могли прозвать садовода или торговца яблоками, а суффикс -ш- (как в Паша, Гриша от Павел, Григорий) превратил бы «Апорта» в «Апорша». Тогда Апорнша — это «Апорша» с вставным [н] для благозвучия, явление нередкое в народной этимологии (сравните: «инцидент» вместо «инцидент»). Менее вероятна, но возможна связь с редким греческим именем Апорнос или с топонимом, где корень «апорн-» мог означать «отпорный», «оборонительный» (от слова «отпор»).

Географически фамилия Апорншина тяготеет к центральным и южным областям России, где яблоневые сады были распространены. Встречается она крайне редко, что говорит о её локальном происхождении — возможно, от одного прозвища в конкретной деревне. Суффикс -ин, а не -ов, тоже характерен для северных и центральных регионов, но в данном случае он просто указывает на краткую форму притяжательного прилагательного.

Итог: с большой долей уверенности можно считать, что Апорншины ведут род от человека по прозвищу Апорнша, которое, в свою очередь, исказилось из «Апорша» — садовода или продавца яблок сорта «апорт». Фамилия — живое свидетельство того, как устная речь и местные говоры перекраивают слова, делая их неузнаваемыми для письменного взгляда.