Фамилия Апремская — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В отличие от тысяч фамилий на -ов/-ев, образованных от крестильных имён, эта фамилия явно связана с географическим названием или прозвищем, а её окончание -ская указывает на польское или западнорусское происхождение.

Вероятнее всего, в основе фамилии лежит название населённого пункта — Апрема, Апремяны или подобного. Такие топонимы могли возникнуть в Беларуси, на западе Украины или в Польше. Суффикс -ск- в фамилиях традиционно принадлежал дворянству и шляхте, но со временем распространился и среди крестьян, особенно в тех регионах, где была сильна польская традиция словообразования. Если предок носил фамилию Апремский (а женская форма Апремская — это вариант жены или дочери), он мог владеть землёй или происходить из местности с таким названием.

Сложность в том, что корень «апрем-» не имеет прямого и очевидного значения в русском или польском языках. Можно предположить, что это искажённое «апрель» (польск. kwiecień, но в старых диалектах могли быть варианты) или вариант фамилии от имени Апремий (редкое календарное имя, встречавшееся у греков). Однако более правдоподобно, что корень — от литовского или балтского слова: в литовском aprėmti означает «обнимать», «охватывать», что могло стать прозвищем человека (например, «обнимающий», «заботливый») или характеристикой местности («охваченная лесом»). В польском есть слово «apremb» — устаревшее, означающее «объятие» или «связка». Такое прозвище могли дать человеку с широкими руками, объёмистой фигурой или, в переносном смысле, гостеприимному.

Встречаемость фамилии крайне низкая, и в дореволюционных справочниках она почти не фиксируется. Это не массовая крестьянская фамилия, а скорее локальная, возможно, шляхетская, осевшая в одном-двух уездах. Носительница фамилии Апремская могла быть потомком польского или белорусского шляхтича, чей род получил фамилию по названию усадьбы, или же дочерью человека, которого прозвали за характерную черту — объёмность или гостеприимство. Без генеалогического поиска по конкретному региону точнее сказать сложно, но ясно одно: фамилия не случайна и несёт отпечаток западных земель.