Фамилия Апсадыева — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а географическое название, и к тому же не славянское. Она явно образована от топонима Апсада — так называется село в Абхазии, в Гудаутском районе. Житель этого села получал прозвище Апсадый или Апсада, а его потомки становились Апсадаевыми, Апсадзе или, в русской передаче, Апсадыевыми. Суффикс -ев указывает на русскую модель оформления фамилии: «чей?» — Апсадыев, то есть сын или потомок человека из Апсады.

Окончание -а в фамилии Апсадыева — это женская форма, которая закрепилась в документах, если носительница — женщина. В мужском варианте фамилия пишется Апсадыев. Такая фамилия почти наверняка имеет абхазские корни, и её носители, скорее всего, происходят из абхазской или смешанной абхазо-русской среды. В Абхазии и соседних регионах России (Краснодарский край, Адыгея) эта фамилия встречается, но крайне редко.

Словообразовательная модель проста: основа Апсада (название села) + суффикс -ев, который в русской традиции присоединяли к иноязычным основам, оканчивающимся на -а, -я. В отличие от фамилий на -ов (от основ на твёрдый согласный), здесь суффикс -ев — показатель того, что исходное слово заканчивалось на мягкий или шипящий звук, либо на -а. В данном случае — на -а.

Других версий происхождения, например от личного имени или прозвища, нет: в доступных ономастических источниках и словарях фамилия Апсадыев/Апсадыева не зафиксирована как производная от антропонима. Это сужает круг поиска и делает географическую версию единственной правдоподобной. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их корни в Абхазии, в окрестностях села Апсада, где, вероятно, жили несколько поколений до того, как фамилия попала в русскую документацию.