Фамилия Аркацкова — женская форма, её мужской вариант — Аркацков. Это редкая фамилия, и её корень не лежит на поверхности, но разбор словообразовательной модели проясняет картину. Отбросив типичный русский суффикс -ов (указывающий на принадлежность: «сын Аркацка»), получаем основу Аркацк-.

Самая вероятная версия ведёт к тюркскому или арабскому имени Аркат (варианты: Аркада, Аркат). В тюркских языках «арка» означает спину, хребет, опору, а «аркат» может переводиться как «уважаемый», «почтенный» или «поддерживающий». Имя Аркат встречалось у татар, башкир и других народов Поволжья. В русской среде такое имя могли адаптировать, добавив уменьшительный суффикс -ец или -к-: Аркат → Аркатец → Аркацк(ий). Так прозвище Аркацко мог получить человек, которого в семье или общине называли уменьшительно от имени Аркат, а его дети стали Аркацковыми.

Есть и второй, более прозаичный вариант. В говорах русского севера и Сибири словом «аркать» называли громко кричать, звать, аукать. Человека с зычным голосом или привычкой громко перекликаться могли прозвать Аркало, Аркач или Аркац. Суффикс -ец в прозвищах часто указывал на носителя признака (ср. хитрец, храбрец), так что Аркатец — это «тот, кто аркает». Со временем форма Аркатец через чередование «т/ц» могла упроститься до Аркац, откуда и пошла фамилия.

Географически фамилия Аркацков (и Аркацкова) тяготеет к южным и центральным регионам России, а также к Поволжью, где были сильны тюркские влияния. Встречается она нечасто, что повышает вероятность её связи с конкретным прозвищем или именем, а не с массовым крестьянским «переписыванием» по отцу. Обратите внимание на редкость суффиксальной модели: основа на -цк- в русских фамилиях встречается гораздо реже, чем на -ов или -ин, что делает Аркацкова скорее исключением, чем правилом.