Фамилия Аркацкая — редкий случай, когда географическое происхождение просматривается яснее, чем лексическое значение основы. Она образована по продуктивной модели с суффиксом -ск-, который в русских фамилиях чаще всего указывает на связь с местностью: владельческий или территориальный признак. Форма Аркацкая — женская; мужской вариант — Аркацкий.

Корень «аркац-» не имеет очевидных смыслов в русском языке. Вероятнее всего, фамилия восходит к названию населённого пункта. На карте есть несколько топонимов, которые могли лечь в основу: село Аркацы (или Аркацк) в исторических областях — например, на территории современной Украины или Беларуси. Если предки происходили из такого места, то фамилия отвечала на вопрос «откуда?»: человек из Аркацка становился Аркацким. Суффикс -ск- в таких случаях означал принадлежность к местности, а не к роду занятий.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с тюркским словом «арка» (спина, хребет, опора) или с диалектным «аркать» (кричать, звать). Однако в фамилиях на -ский тюркские корни встречаются редко, и для версии с прозвищем больше подошли бы формы вроде Аркатов или Аркачёв. Поэтому топонимическое объяснение остаётся основным.

Особенность фамилии — её окончание -ая, а не -а, что типично для южнорусских, украинских и белорусских фамилий на -ский/-цкий. В северных и центральных регионах России чаще писали Аркацкий, а форма Аркацкая закрепилась у женщин. Встречается фамилия в основном в восточноевропейских регионах, но точных статистических данных по распространённости нет — это нетипичная, штучная фамилия.

Искать корни стоит через географию: если в семейных преданиях есть упоминание о конкретном селе или уезде, откуда вышли предки, это и будет ключом. Без такой привязки остаётся лишь предполагать, что основатель рода носил прозвище по месту жительства или службы.