Фамилия Арбацкая — женская форма фамилии Арбацкий, и её звучание сразу наводит на мысль о географическом корне. Скорее всего, в основе лежит название населённого пункта: Арбат, Арбатово, Арбатское. Такие фамилии на -ский/-цкий в русской традиции часто указывали на дворянское или шляхетское происхождение, но не всегда: их могли получать и выходцы из духовенства, и переселенцы, записанные по месту прежнего жительства. Если предок был родом из села или местечка с похожим именем, его и прозвали Арбацким — то есть «тот, кто из Арбата».

Однако есть нюанс: самый известный Арбат — московская улица. Но фамилия Арбацкий вряд ли пошла от неё напрямую. В Москве прозвища по улицам давали редко, а если и давали, то скорее в форме Арбатов. Куда вероятнее, что корень восходит к тюркскому слову «арба» — повозка, телега. В южнорусских и украинских говорах «арбат» или «арбач» могло означать мастера по изготовлению арб, возчика или просто человека, который ходит с арбой. Тогда Арбацкий — это сын арбатчика, то есть того, кто работал с телегами.

Суффикс -цк- в фамилии — редкий для чисто крестьянской среды. Он характерен для фамилий, которые складывались в среде служилых людей, казачества или мещанства. Поэтому носитель фамилии Арбацкий мог быть не крепостным, а человеком, имевшим отношение к военной службе или городскому ремеслу. Версия с тюркским корнем подкрепляется и тем, что фамилия встречается в регионах, где было сильно влияние тюркских языков: на юге России, в Поволжье, на Кубани.

В написании фамилии обращает на себя внимание буква «ц» вместо ожидаемого «т»: Арбатский звучало бы логичнее, но Арбацкий — результат ассимиляции согласных, когда «т» перед «с» переходит в «ц». Это естественный фонетический процесс, и он уже закрепился в документах. Так что фамилия, скорее всего, прошла через устную речь, а не через канцелярскую запись, где могли бы настоять на «Арбатский».

Если коротко: предки Арбацких либо жили в местечке с названием Арбат (или Арбатово), либо занимались перевозками на арбах. Первая версия — дворянская или церковная, вторая — ремесленная, более демократичная. Разобраться точнее помогла бы география: где именно в XIX веке фамилия была распространена сильнее.