Фамилия Арбаевы — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а, скорее всего, тюркское прозвище, связанное с местом жительства или родом занятий. Судя по суффиксу -ев, она образована от прозвища или имени Арбай, которое, в свою очередь, восходит к тюркскому слову «арба» — повозка, телега. В таком случае Арбаем могли прозвать либо извозчика, либо мастера по изготовлению повозок, либо просто того, у кого была арба — ценное по тем временам имущество. В тюркских языках, например в татарском, «арба» — это телега, а слово «арбай» могло означать «возчик» или «аробщик». Версия с именем собственным тоже имеет право на существование: у башкир и татар встречается мужское имя Арбай, которое могло быть производным от того же корня, но уже в значении «владелец арбы» или «тележник».

Словообразовательная модель проста: основа Арбай + типичный русский патронимический суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — Арбаев сын). Такое оформление характерно для фамилий, которые складывались в среде крещёных тюркских народов, входивших в состав Российского государства, — татар, башкир, чувашей. В документах XVI–XVII веков подобные фамилии нередко фиксировались у служилых людей и крестьян Поволжья и Приуралья.

Географически фамилия Арбаевы наиболее распространена в Башкортостане и Татарстане, а также встречается в Оренбургской и Челябинской областях. Это подтверждает её тюркские корни и связь с регионом, где арба была привычным транспортным средством. Встречается и вариант написания с буквой «а» на конце — Арбаева, но он не меняет сути: это та же фамилия в женском роде.

Спорных версий здесь немного. Можно предположить, что в основе лежит монгольское «арбай» — ячмень, но это маловероятно для русской фамилии: географически монгольские заимствования почти не проникали в ономастикон центральной России. Так что версия с телегой остаётся основной. Если у вас фамилия Арбаевы, ваши предки с большой вероятностью были либо извозчиками, либо просто людьми, жившими в степной или лесостепной полосе, где арба была не роскошью, а необходимостью.