Фамилия Арбаткая — редкий случай, когда географическое название стало основой фамилии, но не в привычной форме. Вопреки первому впечатлению, она не связана с московским Арбатом напрямую. Ключ к разгадке — суффикс и написание.

Обратите внимание на окончание: не «Арбатов» или «Арбатский», а «Арбаткая». Такая форма характерна для фамилий, образованных от названий населенных пунктов с помощью суффикса -ск-, но в усеченном, «бытовом» варианте. Полная форма звучала бы как Арбатский (для мужчин) и Арбатская (для женщин). Окончание -ая — женское родовое, но в русской традиции XIX века фамилии на -ский/-ская часто фиксировались в документах именно в женской форме, если речь шла о женщине-носительнице. Однако в современном употреблении «Арбаткая» может восприниматься как фамилия, застывшая в исходном написании.

Самая вероятная основа — название деревни или села Арбат, Арбатово или Арбатка. Такие топонимы встречаются не только в центральной России, но и на Урале, в Сибири, а также в Белоруссии и на Украине. Например, в Пермском крае есть деревня Арбатово, а в Башкортостане — село Арбат. Названия эти, скорее всего, тюркского происхождения: «арбат» (араб. «арбад» — «четверг», день базара) или от тюркского «арба» (телега, повозка) с суффиксом -т. То есть предок носителя фамилии мог быть выходцем из такого села — его называли «арбатский», то есть «тот, кто из Арбата».

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с ремеслом. В некоторых говорах «арбат» или «арбатник» — возчик, извозчик на арбе. Но тогда фамилия строилась бы по другой модели: Арбатов или Арбатников. Форма на -ский почти всегда указывает на географическое происхождение, а не на профессию.

Таким образом, фамилия Арбаткая — это «топонимическая» фамилия, указывающая на место, откуда родом был ее первый носитель. Она редка именно в таком написании, но ее «родственники» — фамилии Арбатский, Арбатов, Арбатовский — встречаются чаще. Если ваша фамилия записана именно так, через «к», это может быть следствием диалектного произношения или ошибки писаря при оформлении документов (например, «Арбатская» → «Арбаткая»). Искать корни стоит в метрических книгах и ревизских сказках по регионам, где есть села с корнем «Арбат».