Фамилия Архондиди — редкий случай, когда корень слова прямо указывает на социальный статус предка. В основе лежит греческое слово «архонт» (ἄρχων) — «правитель», «начальник», «властитель». В Древних Афинах архонтами называли высших должностных лиц, а в Византийской империи это слово перешло в титул знати и церковных иерархов. Однако не стоит думать, что носитель фамилии происходит из аристократии: в греческой среде «архонтом» могли прозвать и просто богатого или влиятельного крестьянина, старейшину села, либо человека с властным характером.

Суффикс -иди (в русской передаче часто -иди или -идис) — типичный греческий патронимический формант, обозначающий «сын» или «потомок». То есть Архондиди буквально означает «сын архонта» или «из рода архонта». Такая модель образования фамилий характерна для понтийских греков — выходцев с побережья Чёрного моря (нынешняя Турция, Греция, юг России). Массово фамилии на -иди закрепились у греков в XIX — начале XX века, когда Османская империя ввела обязательную регистрацию населения. Тогда многие семьи, не имевшие наследственных фамилий, взяли прозвище отца или деда.

Интересная деталь: в русском языке фамилия Архондиди склоняется по правилам греческих фамилий на -и — она не изменяется по падежам в мужском роде (Иван Архондиди, к Ивану Архондиди). В женском роде тоже остаётся неизменяемой, если только женщина не взяла вариант Архондидис (что редкость). В самой Греции, где фамилия выглядит как Αρχοντίδης, она склоняется по общим правилам, а окончание -ίδης указывает на принадлежность к определённому роду.

Поскольку фамилия встречается в основном у греков, переселившихся в Россию в ходе нескольких волн эмиграции (в XVIII–XIX веках — в Новороссию и Крым, после 1917 года — в СССР), географически она распространена в Краснодарском крае, Ставрополье, Ростовской области, а также в Греции и на Кипре. В дореволюционных метрических книгах её могли записывать с ошибками: Архонтиди, Архондидов, иногда даже Архипди — из-за непонимания русскими писарями греческой фонетики.

Спорных версий у фамилии почти нет: греческое происхождение и связь с «архонтом» признаётся всеми ономастами. Единственное, что может сбить с толку — это церковный титул «архонт» в православной традиции (почётное звание, даваемое мирянам за заслуги перед Церковью). Но вряд ли фамилия произошла именно от этого звания — оно было редким и не переходило в наследственные прозвища. Куда вероятнее, что предок носителя фамилии был просто уважаемым человеком в своей общине, которого за глаза называли «архонт», а его дети стали Архондиди.