Фамилия Арцыков — редкий случай, когда основа почти наверняка иноязычная, а суффикс — классический русский -ов. Если отбросить окончание, остаётся корень Арцык-, который в русском языке ничего не значит. Это прямой указатель на то, что в основе лежит имя или прозвище, заимствованное из другого языка.

Скорее всего, Арцыков — русифицированная фамилия польского или украинского происхождения. Корень мог возникнуть от польского имени «Arcyk» — уменьшительной формы от «Arcy» или шуточного прозвища «Arcibiskup» («архиепископ»). Либо от украинского или белорусского варианта имени «Арцик», которое образовано от «Артём» или «Арсений» через диалектное произношение «Арць». В любом случае, исходное слово переделали на русский лад: к основе прибавили патронимический суффикс -ов, и фамилия стала отвечать на вопрос «чей?» — сын Арцыка. Модель образования здесь та же, что и у фамилий Петров или Иванов, только корень не славянский, а западный.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с тюркским корнем. В некоторых тюркских языках «арцык» или «арчук» означает «можжевельник» или «крепкое дерево». Тогда прозвище могли дать человеку с твёрдым характером или тому, кто жил возле зарослей можжевельника. Но для этой версии нет устойчивых параллелей в русской ономастике, и она уступает первой по убедительности.

Фамилия редкая, в общероссийских списках встречается нечасто. Географически её носители рассеяны, но чаще фиксируются в центральных областях России и в Поволжье — это типично для фамилий, принесённых из западных регионов в ходе миграций XVII–XIX веков. Сословная принадлежность предков неясна: Арцыковы могли быть и крестьянами, и мещанами — суффикс -ов не даёт подсказки, а дворянских родов с такой фамилией в гербовниках не значится.

Если коротко: фамилия Арцыков — это русская «обёртка» для польского или украинского прозвища, скорее всего, образованного от имени с уменьшительным суффиксом. Искать её корни стоит не в древнерусских летописях, а в словарях личных имён западных славян.