Фамилия Аржадеев — редкий случай, когда при разборе сразу сталкиваешься с неочевидным корнем. На слух она напоминает что-то тюркское или кавказское, но на деле, скорее всего, имеет чисто русскую основу, искажённую живой речью. Разбирать её логичнее всего с конца, с суффикса «-еев». Он указывает на отчество: Аржадей — это сын человека по прозвищу Аржадей, а тот, в свою очередь, — производное от того же корня с суффиксом «-дей» (сравните: Ходей, Булгадей). В основе этого прозвища, вероятнее всего, лежит слово «ерзать» — «ёрзать, вертеться, беспокойно сидеть». В диалектах существовали формы «арзать», «ерзать», а от них — прозвища Ерза, Ерзун, Ерзак. Человек, получивший такое прозвище, был непоседливым, суетливым или не мог усидеть на месте.

Фамилия Аржадеев — это фонетический вариант, где начальное «е» перешло в «а» под влиянием акающего говора (аканье — произношение «а» вместо «о» и «е» в безударной позиции), а корень «ерз-» превратился в «арж-». Географически фамилия тяготеет к регионам, где аканье было нормой: центральные области России, Поволжье. Встречается она крайне редко, и в списках дворянских родов или известных исторических деятелей не значится. Носители фамилии, скорее всего, происходят из крестьянской или мещанской среды, а прозвище предка было сугубо бытовым, характеризующим его поведение.

Менее убедительная, но возможная версия — связь с тюркским именем Аржа (от монгольского «аржа» — «целебный источник, святая вода»). В таком случае фамилия образована по русской модели от имени Аржадей, но это объяснение требует допущения, что имя было широко распространено именно в русской среде, что маловероятно. Кроме того, слово «аржа» в тюркских языках обычно давало фамилии типа Аржаев, без удвоенного «д» в середине. Так что версия с русским непоседливым предком выглядит куда правдоподобнее.