Фамилия Асаушкин — довольно редкая, и её разбор требует внимания к конечному элементу. Перед нами не типичное отчество на -ов/-ев, а модель на -кин, которая в русской ономастике обычно указывает на принадлежность через женское имя или прозвище матери (так называемые «матронимы»). Корень здесь — Асаушк-, что почти наверняка является уменьшительно-ласкательной формой от имени Асауля или Асаул. Само слово «асаул» (есаул) — тюркского происхождения, в переводе с чагатайского «начальник», «распорядитель». В русской казачьей среде есаул — это офицерский чин, помощник атамана.

Следовательно, основа фамилии — прозвище Асаул, которое могли дать либо человеку, служившему есаулом, либо обладателю властного, командного нрава. Уменьшительная форма Асаушка (с характерным чередованием «л» на «ш», как, например, в имени Павел — Павлуша) превратилась в фамилию по модели «чей?» — Асаушкин. Это буквально означает «сын Асаушки» или «человек из семьи Асаушки». Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Асáушкин.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и казачьим областям, где слово «есаул» было в ходу. Встречается она в документах по Воронежской, Ростовской областям и Краснодарскому краю. В дореволюционных переписях и метрических книгах XIX века эта фамилия не была распространена широко, что подтверждает её локальный, возможно, однодворческий или казачий характер. Носители фамилии, скорее всего, происходят из среды служилых людей по прибору или вольных казаков, где прозвища по чину давали неформально, а потом закреплялись в роду.

Есть и другая, менее вероятная версия: связь с греческим именем Аса (Асаф) через диалектную форму Асаушка. Но она слабее, так как имя Асаф даёт обычно фамилии Асафов или Асафин, а суффикс -ушк- в русских именах чаще образуется от основ на согласный (Иван — Иванушка, Пётр — Петрушка), а не от «Аса». Поэтому казачья версия остаётся основной и самой логичной.