Фамилия Ашеева — женская форма фамилии Ашеев, и её разбор стоит начать с мужского варианта, потому что именно в нём скрыта основа. Ашеев — это типичная русская фамилия, образованная по модели «основа + суффикс -ев». Суффикс -ев (а не -ов) указывает, что основа оканчивалась на мягкий согласный, шипящий или «ц». В данном случае основа — Аш-.

Корень «Аш» не является исконно русским словом. В русских говорах и диалектах слово «аш» не встречается. Поэтому логичнее всего искать основу в тюркских языках, что подтверждается и географией: фамилия Ашеев и Ашеева встречается в Поволжье, на Урале и в Сибири — в регионах, где исторически соседствовали русские и тюркские народы.

Самая прямая версия: основа «аш» восходит к тюркскому слову «аш» — «еда, пища, кушанье». В таком случае прозвище Аш могли дать человеку, который был поваром, кормильцем или отличался особым гостеприимством. В татарском и башкирском языках «аш» имеет то же значение, и там же встречается личное имя Аш (иногда как сокращение от Ашраф или Ашур).

Есть и вторая версия, менее вероятная, но имеющая право на существование: фамилия могла возникнуть от имени Аша — варианта имени Ашот (армянское происхождение) или уменьшительной формы от Афанасий (через разговорное Аша). Однако в этом случае логичнее ожидать суффикс -ин (Ашин), а не -ев. Так что тюркская версия убедительнее.

Модель образования проста: прозвище или имя Аш → притяжательное прилагательное Ашев (чей? — Ашев сын) → полная фамилия Ашеев (с двойным «е» на стыке основы и суффикса, типичным для фамилий от основ на мягкий согласный). Женская форма Ашеева появилась позже, по стандартной схеме.

Фамилия не относится к числу древних дворянских, её носители — скорее всего, крестьяне или посадские люди из регионов с тюркским влиянием. Встречается она нечасто, что делает её носителей обладателями редкого и этимологически прозрачного родового имени.