Фамилия Аснес — редкий для России случай, когда фамилия не переделана на русский лад, а сохранила исходное скандинавское звучание. Встречается она в основном в Норвегии и среди потомков норвежских переселенцев, а в русском контексте — это, скорее всего, фамилия, принесённая в XIX–XX веках либо обрусевшими норвежцами, либо людьми, чьи предки жили на территориях, входивших в состав Шведско-норвежской унии.

Разбираем её по частям. Аснес — это топонимическая фамилия, образованная от названия хутора или усадьбы. Первая часть — «Ас-» (др.-сканд. áss) означает «бог» (из скандинавской мифологии, асы — верховные божества) или, что чаще в топонимах, «горный хребет», «возвышенность». Вторая часть — «-нес» (др.-сканд. nes) переводится как «мыс», «выступ». Таким образом, буквальное значение — «мыс бога» или «мыс у горы». В Норвегии десятки хуторов с названием Аснес, и фамилию давали по месту жительства: человек, переезжавший в город, получал прозвище «тот, кто с хутора Аснес».

В русской среде фамилия не склоняется по падежам как типичная славянская (не Аснесов, а Аснес), что сразу выдает её иноязычное происхождение. Если искать аналоги в русской ономастике, то ближе всего по модели — фамилии, образованные от географических названий с суффиксом -ский (вроде Озерский, Горский), но Аснес осталась без суффикса, как и многие скандинавские фамилии на -сен, -стад, -нес.

Встретить Аснеса в России можно в Мурманской области, Карелии или Санкт-Петербурге — регионах, где исторически селились норвежцы и финны. По сословию носители такой фамилии чаще всего были крестьянами или рыбаками, так как хуторские названия в Норвегии носили именно свободные земледельцы (бонды).

Спорных версий у фамилии практически нет: скандинавская топонимика хорошо изучена, и корень здесь прозрачный. Если вдруг встречается написание «Аснесс» (с двумя «с» на конце), это, скорее всего, опечатка или влияние английской орфографии.