Фамилия Ассит — редкая, и её происхождение неочевидно. Сразу бросается в глаза её морфология: нулевой суффикс, отсутствие типичных славянских окончаний -ов, -ин или -ский. Это характерно для фамилий, которые зафиксировали прозвище или этноним в исходной форме, без переоформления по русской модели. В России такие фамилии чаще всего встречаются у народов Северного Кавказа, Закавказья и у греков Приазовья.

Скорее всего, основа «ассит» не славянская, а пришла из языков Кавказа или Ближнего Востока. Наиболее правдоподобная версия связывает её с этнонимом «ассириец». В тюркских и кавказских языках слово «ассит» или «асыт» обозначало представителя этого древнего народа. В таком случае фамилия указывала на национальность или место, откуда вышел предок. Если предки были ассирийцами, то они могли принадлежать к одной из общин, переселившихся в Российскую империю в XIX — начале XX века из Турции или Ирана. Ассирийцы традиционно занимались ремёслами, торговлей, сапожным делом.

Менее вероятна, но возможна связь с арабским корнем «асад» — лев. В некоторых диалектах форма «ассит» могла быть вариантом прозвища «ас-сад» (лев) с характерным для арабской ономастики артиклем. Однако это предположение слабее, потому что переход «сад» → «ссит» фонетически не типичен для русского языка, а фамилия оформлена по русской модели. Если же фамилия возникла на Кавказе, её носители могли быть связаны с местными народами, воспринявшими арабскую или тюркскую лексику.

География фамилии узкая. По открытым данным, Асситы встречаются в Краснодарском крае, Ростовской области и в некоторых городах центральной России. Это подтверждает версию о переселенческом происхождении: фамилия осталась локальной, не разошлась широко. Точных сведений о дворянском или крестьянском статусе носителей фамилии нет. Скорее всего, Асситы — потомки свободных переселенцев или ремесленников, а не крепостных крестьян, поскольку фамилия не имеет типичной «крестьянской» модели на -ов.