Фамилия Асюнина — женская форма фамилии Асюнин, а та, в свою очередь, образована от имени или прозвища Асюня. Разберём эту цепочку. Основа Асюн- — это уменьшительно-ласкательный вариант от какого-то полного имени, скорее всего, от Ася. Ася — общеизвестное сокращение от Анастасия (женское) или, реже, от Александра (мужское). Однако в диалектной и просторечной среде XIX века Асей, Асюней и Асенькой могли называть не только Анастасий, но и носителей имени Осип (от Иосиф) — через форму Ося. Так что мужчина Асюня мог быть и Осипом.

Суффикс -ин в фамилии указывает на принадлежность: Асюнин — «чей?» — сын Асюни, потомок человека с таким прозвищем. Модель типичная для русских фамилий, образованных от имён, оканчивающихся на -а или -я: как Кузьмин, Ильин, Никитин. Фамилия недворянская, скорее крестьянская или мещанская, потому что -ин-фамилии в массе своей шли от простонародных прозвищ и уменьшительных имён.

Географически фамилия редкая. По данным современных открытых баз, Асюнины встречаются в основном в центральной России, особенно в Вологодской и Костромской областях, а также на Урале. Это указывает на севернорусские корни: там была сильна традиция именовать человека по уличному прозвищу, которое потом закреплялось за всей семьёй. В Вологодчине, к слову, фиксировалось и слово «асюня» в значении «разиня, нерасторопный человек» — не исключено, что прозвище могли дать и за характер, а не только от имени.

В дореволюционных метрических книгах фамилия встречается спорадически. Написание устойчивое, без вариантов — Асюнина (в женском роде). Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Асю́нина, хотя в говорах возможно смещение. Если вы носитель этой фамилии, ваши предки были, вероятно, крестьянами или посадскими людьми из северных или центральных губерний, а родоначальника звали ласково Асюней — по имени или по повадке.