Фамилия Авамери — редкая и нестандартная для русского языка. В ней нет привычных фамильных суффиксов -ов, -ин или -ский, а значит, она почти наверняка не славянского происхождения. Скорее всего, перед нами фамилия-инофон, то есть заимствованная или образованная от иноязычной основы и адаптированная к русскому окончанию -и.

Наиболее вероятная версия — что Авамери представляет собой русифицированную форму грузинской фамилии. В грузинском языке есть фамилии на -и (например, Церетели, Орбели), а корень «Авамер» может восходить к грузинскому слову «аваме» (ავამე) — «невежда» или «простак». В таком случае фамилия образована от прозвища, которое дали человеку за простодушие или необразованность. Суффикс -и в грузинских фамилиях часто указывает на принадлежность к роду, а при переносе в русскую среду окончание могло закрепиться как -и.

Вторая, менее вероятная гипотеза — искусственное происхождение. В советское время встречались случаи, когда люди сами придумывали себе фамилии, составляя их из частей разных слов или аббревиатур. Например, «Авамери» могло сложиться из «Авангард» и «Мери» (имя) или быть сокращением от «Аварийная меридиана» — но такие версии остаются лишь догадками без письменных подтверждений.

Ономастических исследований, посвящённых именно фамилии Авамери, нет. В словарях Б. Унбегауна или В. Никонова она не упоминается, что подтверждает её редкость и нетипичность для восточнославянского ареала. Встретить её можно в основном в южных регионах России и на Кавказе, что косвенно поддерживает грузинскую версию.

Таким образом, если ваши предки носили фамилию Авамери, они, скорее всего, были выходцами из Грузии или имели с ней прочную связь. Сама фамилия, вероятно, возникла из прозвища, которое характеризовало человека — возможно, не самого учёного, но искреннего и простого в общении.