Фамилия Авдыцкая — довольно редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Сразу бросается в глаза суффикс -ицк-, который типичен для фамилий, образованных от названий населённых пунктов. Такие фамилии (на -ицкий/-ицкая) обычно указывают на то, что основатель рода был выходцем из села или местечка с названием вроде Авдыцы, Авдыцк или похожим. Географическая привязка здесь — первая и самая вероятная версия.

Если такой топоним не находится на современных картах, стоит обратиться к личному имени. Основа «Авд» — это усечённая форма от крестильного имени Авдей (в церковной форме Авдий). В народной среде имена часто сокращали: Авдей превращался в Авдя или Авда, а от них уже образовывали прозвища и фамилии. Тогда Авдыцкая могла возникнуть как вариант отчества или прозвища: «чей? — Авдыц», то есть сын Авды, а потом уже Авдыцкий/Авдыцкая. Суффикс -иц- здесь выступает как патронимический, что тоже встречается в восточнославянской ономастике, хоть и реже, чем стандартные -ов/-ев.

Третья, менее распространённая гипотеза связывает фамилию с диалектным словом «авда» или «овда» — так в некоторых южнорусских говорах называли овцу или, реже, нерасторопного человека. Однако для фамилии с суффиксом -ицк- прозвищная версия слабее: такой суффикс чаще «топонимический», чем «характеризующий». Поэтому самым правдоподобным выглядит происхождение от названия места, где жили первые носители фамилии, либо от имени Авдей в его народной форме.

В написании фамилии обращает на себя внимание окончание -ая, а не стандартное -а. Для женской формы это норма, но в мужском варианте (Авдыцкий) она бы склонялась как прилагательное. Это ещё один довод в пользу того, что перед нами типичная «географическая» фамилия дворянского или мещанского происхождения — такие часто встречались на западе Российской империи, в Беларуси и на Украине, где польская традиция смешивалась с русской. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит поискать в метрических книгах Могилёвской, Витебской или Волынской губерний — там подобные окончания встречаются особенно часто.