Фамилия Авдыцкая — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности, но при внимательном разборе открывается несколько путей. Первое, что бросается в глаза, — суффикс -ицк-, типичный для фамилий, образованных от названий населённых пунктов. Такие фамилии (на -ицкий/-ицкая) обычно указывают, что основатель рода был выходцем из села или местечка вроде Авдыцы, Авдыцк или похожего. Географическая привязка здесь — самая вероятная версия.

Если такой топоним не находится на современных картах, стоит обратиться к личному имени. Основа «Авд» — усечённая форма от крестильного имени Авдей (в церковной форме Авдий). В народной среде имена часто сокращали: Авдей превращался в Авдя или Авда, а от них уже образовывали прозвища и фамилии. Тогда Авдыцкая могла возникнуть как вариант отчества: «чей? — Авдыц», то есть сын Авды, а потом уже Авдыцкий/Авдыцкая. Суффикс -иц- здесь выступает как патронимический — такое встречается в восточнославянской ономастике, хоть и реже стандартных -ов/-ев.

Третья, менее распространённая гипотеза связывает фамилию с диалектным словом «авда» или «овда» — так в некоторых южнорусских говорах называли овцу или, реже, нерасторопного человека. Однако для фамилии с суффиксом -ицк- прозвищная версия слабее: такой суффикс чаще «топонимический», чем «характеризующий». Поэтому самым правдоподобным выглядит происхождение от названия места, где жили первые носители фамилии, либо от имени Авдей в его народной форме.

В написании обращает на себя внимание окончание -ая, а не стандартное -а. Для женской формы это норма, но в мужском варианте (Авдыцкий) она склонялась бы как прилагательное. Это ещё один довод в пользу того, что перед нами типичная «географическая» фамилия, распространённая на западе Российской империи — в Беларуси и на Украине, где польская традиция смешивалась с русской. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит поискать в метрических книгах Могилёвской, Витебской или Волынской губерний: там подобные окончания встречаются особенно часто.