Фамилия Авершина образована от разговорной формы Аверша канонического мужского имени Аверкий. Само имя Аверкий происходит от латинского глагола «аверто» — «обращать в бегство», так что в основе фамилии лежит значение «сын того, кто обращает врагов в бегство». Имена с таким корнем были в ходу в среде духовенства и простых крестьян, а их уменьшительные варианты вроде Аверши легко приживались в быту.

Модель образования типична для русских фамилий: суффикс -ин указывает на принадлежность, то есть Авершина — «дочь или жена Аверши». В мужском варианте фамилия звучала бы как Авершин, но женская форма закрепилась в документах, если речь идёт о конкретной женщине или о фамилии, переданной по женской линии.

Существует и другая версия, хотя она менее убедительна: связь Аверши с просторечным названием валерианы — аверьян, аверша. Согласно этой гипотезе, Авершой могли прозвать собирателя трав или знахаря, который лечил настойками. Однако лингвистически такая параллель слаба: форма «аверша» для валерианы встречается редко и локально, тогда как имя Аверкий с его производными широко распространено по всей России. Поэтому основная версия — антропонимическая, от личного имени.

Среди однокоренных фамилий — Аверкиев, Аверьянов, Авершин. Все они родственны по корню, но разошлись в суффиксах: -ев и -ов указывают на отчество от полного имени, а -ин — от краткой формы. Авершина стоит в этом ряду как самый «домашний», бытовой вариант.

Географически фамилия чаще встречается в центральных и северных областях России, особенно в бывших вотчинах Новгорода и Пскова, где имя Аверкий было популярно среди посадских людей. В переписных книгах XVII века упоминаются крестьяне Авершины, что подтверждает давнюю историю фамилии в крестьянской среде.