Фамилия Авкельгина сразу обращает на себя внимание нехарактерным для русского уха сочетанием звуков. Её основа, скорее всего, имеет тюркское происхождение, а русский суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — «Авкельгина», то есть дочь или жена человека по прозвищу Авкельга.

Разбираем словообразовательную модель. Фамилия образована от мужского прозвища Авкельга с помощью типичного русского патронимического суффикса -ин. Сам суффикс указывает на то, что основа прозвища оканчивалась на мягкий или шипящий согласный — это характерно для заимствованных тюркских основ, которые при русификации теряли конечный гласный или меняли звучание.

Корень Авкель- (или Аукель) в тюркских языках мог означать «светлый», «ясный» или быть связанным с понятием «старший, почтенный». Вторая часть прозвища, -гин, в тюркских языках часто является компонентом, обозначающим человека (сравните с «эркек» — мужчина, «кыз» — девушка). Таким образом, Авкельгин — это «человек по имени Авкель» или «принадлежащий Авкелю». Не исключено, что исходная форма была Авкельдин, где -дин — притяжательный аффикс, а конечное -а появилось уже при русификации, когда фамилию записывали в русских документах.

Встречаемость фамилии крайне низкая, что говорит о её локальном бытовании. Скорее всего, она закрепилась в среде крещёных татар, башкир или других народов Поволжья и Приуралья. В XIX веке при переписях населения фамилии в этом регионе часто образовывали от имён отцов, добавляя русские суффиксы. Вариант с суффиксом -ин, а не -ов, как раз и может указывать на то, что основа оканчивалась на мягкий или шипящий согласный — это типично для тюркских заимствований, прошедших через устную передачу.

Редкость фамилии делает её особенно ценной для генеалогического поиска: скорее всего, все носители Авкельгиной — потомки одного предка, получившего это прозвище или имя. Если ваша фамилия именно такова, стоит искать корни в метрических книгах и ревизских сказках по Оренбургской, Уфимской или Казанской губерниям — именно там оседали тюркские роды, получавшие русские фамилии.