Фамилия Авроша — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет привычного суффикса -ов или -ин, который сразу указывает на отчество. Окончание -ша наводит на мысль об уменьшительно-ласкательной форме, характерной для украинского, белорусского или южнорусского говора. Скорее всего, перед нами прозвище или производное от личного имени.

Самая вероятная версия: основа «Аврош» — это диалектный вариант имени Аверьян или Аверкий. В народе эти церковные имена искажались до Аврушка, Авроня, Авроша. Суффикс -а в конце фамилии типичен для украинской или западнорусской модели: так образовывали фамилии от прозвищ (например, Голова, Шевченко, Бойко). То есть Авроша могло быть уличным прозвищем человека по имени Аверьян, которое со временем закрепилось за его потомками.

Менее распространённая гипотеза связывает фамилию с глаголом «врать» или «авось». Но это натяжка: фонетически «авроша» не складывается в «авоська» или «вруша», а народная этимология здесь не подтверждается ни географией, ни словообразовательными нормами.

Фамилия встречается единично, в основном на западе России и в Беларуси. Это говорит о том, что предки носителя были, скорее всего, крестьянами или мещанами — фамилии на -ша обычно фиксировались в низших сословиях, где прозвища передавались по наследству без книжной обработки.

Сравните с однокоренными: Авросимов, Аврутин, Аврушко. У них общий корень — видоизменённое «Аверьян». Авроша стоит в этом ряду особняком, сохранив живую, неогосударствленную форму прозвища. Если ваши предки носили эту фамилию, вероятно, в их роду был Аверьян, которого в деревне звали ласково или насмешливо — Аврошей.