Фамилия Авширов — редкий случай, когда корень слова почти наверняка не славянский, а тюркский. Основа «авшир» восходит к тюркскому слову «авшар» (или «афшар»), которое означает «проворный», «быстрый», «ловкий». В тюркских языках это слово также было названием одного из крупных огузских племён — афшаров. Предки человека с фамилией Авширов могли принадлежать к этому племени или получить прозвище за расторопность и подвижность.

Суффикс «-ов» указывает на русскую модель образования фамилий. Когда тюркское прозвище или этноним «Авшир» попало в русскую среду, к нему добавили типичный русский суффикс принадлежности. Так фамилия закрепилась в документах: Авширов — буквально «сын (или потомок) Авшира». Подобное переоформление тюркских основ было обычным делом в XVI–XIX веках, особенно среди служилых людей и казачества, которые активно контактировали с тюркскими народами.

Географически фамилия тяготеет к югу России и Поволжью. Встречается в Астраханской области, в Дагестане и среди астраханских татар. Встречается и вариант с буквой «а» в середине — Авшаров, который ещё прозрачнее указывает на племя афшаров. Если ваш предок носил фамилию Авширов, скорее всего, он был выходцем из тюркской среды, которая со временем обрусела, сохранив в фамилии память о родовом прозвище или племенной принадлежности.

Других версий происхождения, например от славянского корня, нет — слово «авшир» не имеет значений в русских говорах. Это редкий случай, когда этимология ясна и почти не вызывает споров.