Фамилия Авшаров образована от мужского имени Авшар, что сразу указывает на её нерусские корни, скорее всего, армянские или тюркские. В переводе с армянского Авшар означает «стрела защитника» — прозвище или имя, которое могли дать воину, лучнику или человеку, прославившемуся защитой своего рода.

Словообразовательная модель здесь простая: к основе Авшар добавили русский патронимический суффикс -ов, который в русской традиции указывает на принадлежность («чей?» — Авшаров, то есть сын или потомок Авшара). Такая «русификация» армянских и тюркских имён — обычное дело для южных и кавказских регионов Российской империи, где в XIX веке активно шла запись фамилий по русским образцам.

Интересно, что имя Авшар встречается не только у армян, но и у некоторых тюркских народов, где оно могло означать «быстрый», «стремительный» или восходить к названию тюркского племени авшар (одно из огузских племён). Поэтому вторая, менее вероятная, версия связывает фамилию не с личным именем, а с этнонимом: предок мог происходить из племени авшаров, а фамилия закрепилась за ним как указание на родоплеменную принадлежность. Однако в случае с русской фамилией Авшаров первая версия — от армянского имени — выглядит убедительнее, поскольку именно армянские имена с суффиксом -ов массово вошли в русский обиход после крещения и ассимиляции.

После принятия христианства каждый славянин во время официальной церемонии крещения получал от священника крестильное имя, но в данном случае имя Авшар — не календарное, а светское, родовое. Это значит, что носитель фамилии Авшаров — потомок человека, который носил это имя или прозвище и чьи дети или внуки при оформлении документов получили фамилию по отцу. Географически фамилия чаще всего встречается в регионах со смешанным славяно-армянским населением: на Кубани, в Ставрополье, Ростовской области, а также в Закавказье.