Фамилия Авшар стоит особняком в русском ономастиконе — она не крестьянская, не дворянская и не духовная в привычном понимании этих сословных групп. Её происхождение почти наверняка тюркское, и связана она не с прозвищем или ремеслом, а с этнонимом. «Авшар» (или «афшар») — название одного из крупных огузских (туркменских) племён, которое в Средние века кочевало от Средней Азии до Анатолии. Из этого племени, в частности, вышла династия Афшаридов в Иране. Так что носитель фамилии Авшар в русском контексте — это, скорее всего, потомок выходца из Закавказья или Средней Азии, который сохранил родовое имя как фамилию.

В русской фамильной модели слово «Авшар» не получило типичных суффиксов -ов или -ин. Это указывает на то, что фамилия закрепилась в форме этнонима, без русификации. Такое часто встречалось у народов Северного Кавказа и Закавказья, где фамилии нередко совпадают с названием племени или тухума. Если бы фамилия была образована на русской почве, мы бы увидели «Авшаров» или «Авшарин». Отсутствие суффикса — косвенный признак того, что фамилия могла прийти в русские документы уже готовой, из азербайджанской, турецкой или туркменской среды.

С точки зрения ударения, в русском языке фамилию чаще произносят с ударением на последний слог — Авшáр, хотя в тюркских языках ударение может падать на первый. Встречается и вариант «Афшар», но он менее распространён. В написании через «в» фамилия закрепилась, вероятно, под влиянием русской графики, где «ф» в начале слова встречается реже и воспринимается как заимствованное.

Ономастические словари (например, работы А. Суперанской) не дают развёрнутой статьи на «Авшар» — фамилия редкая и не входила в ядро массовых русских фамилий. В дореволюционных метрических книгах она встречается спорадически, преимущественно в южных губерниях и на Кавказе. В советское время носители фамилии могли появляться в среде потомков мухаджиров — переселенцев из Турции и Ирана.

Коротко: если ваша фамилия Авшар, то ваши предки, скорее всего, принадлежали к одному из древних огузских племён, а сама фамилия — не прозвище, а родовой знак, сохранившийся без изменений.