Фамилия Авжиева — случай, когда географическая привязка проясняет происхождение быстрее, чем разбор корня. В русском ономастиконе эта фамилия не встречается, и это сразу указывает на её иноязычную основу. Основная версия — тюркское происхождение, скорее всего, из карачаево-балкарского или кумыкского языков. В них есть слово «аууж» или «авжу» — «охотник», «ловец». Суффикс -ев (женская форма -ева) в тюркских фамилиях часто передаёт принадлежность: «Авжиев» буквально значит «сын охотника» или «из рода охотников».

Если копнуть глубже, в карачаево-балкарском «ауучу» — это именно профессиональный охотник, человек, который промышляет зверя. Фамилия могла закрепиться за предком, который славился этим ремеслом. Встречается она в основном на Северном Кавказе, в Кабардино-Балкарии и соседних регионах. Русский суффикс -ев прирастили при оформлении фамилии в документах — типичная история для народов, вошедших в состав Российской империи.

Менее вероятная, но возможная версия — от арабского «ауза» (замена, обмен) через какой-нибудь местный диалект. Но это уже гадание: для тюркской основы «охотник» есть прямые параллели в фамилиях Авжи, Авджи у народов Поволжья и Кавказа. Так что предки носительницы фамилии Авжиева с высокой долей вероятности были не землепашцами, а людьми, кормившимися охотой в горах или предгорьях.

Эта фамилия — редкий пример, где разбор суффикса и географии оказывается важнее этимологии корня. Она не вписывается в привычные русские модели, поэтому её носительницы почти наверняка связаны с Северным Кавказом. Если искать однокоренные варианты, обратите внимание на фамилию Авджиев — она встречается чаще и тоже восходит к охотничьему промыслу. Разница в написании объясняется диалектными особенностями: в одних говорах звук «дж» переходит в «ж», в других сохраняется.