Фамилия Айказуни звучит для русского уха необычно, но её происхождение прозрачно для тех, кто знаком с историей Закавказья. Это не русская и не славянская фамилия, а армянская, причём элитарная по своему генезису. Она образована от армянского имени собственного Айказ (Հայկազ) с помощью суффикса принадлежности -уни (-ունի). Суффикс -уни в армянской ономастике — маркер древнего аристократического рода: так образовывались фамилии нахараров (князей) и высшей знати (сравните: Мамиконян — от Мамик, Арцруни — от Арцруик). Таким образом, Айказуни буквально означает «из рода Айказа» или «принадлежащий Айказу».

Основа имени Айказ восходит к мифологическому эпониму — Айку (Հայկ), легендарному прародителю армянского народа. Согласно «Истории Армении» Мовсеса Хоренаци, Айк был потомком библейского Иафета, который восстал против тирана Бэла и стал родоначальником армян. Имя Айказ — это патронимическая форма, означающая «потомок Айка». Соответственно, фамилия Айказуни указывает на происхождение от этого полулегендарного героя, то есть на принадлежность к самой древней и почётной ветви армянской знати, ведущей родословную от первопредка.

В историческом контексте носители такой фамилии, скорее всего, относились к княжескому сословию. В средневековой Армении фамилии на -уни были привилегией нахарарских домов, владевших землями и имевших наследственную власть. Род Айказуни упоминается в генеалогических списках армянской аристократии, хотя и не был столь же могущественным, как Мамиконяны или Багратуни. Со временем, после утраты государственности и вхождения армянских земель в состав Российской империи, фамилии этого типа закрепились и за другими слоями, но изначальный аристократический оттенок в них сохранился.

С точки зрения словообразовательной модели, фамилия уникальна для русского контекста. Она не склоняется по падежам, как и другие фамилии на -уни (Саакянц, Тер-Петросян). Встречается она редко, преимущественно среди потомков армянской диаспоры, сохранивших родовые предания. В современных источниках фамилия может фигурировать в форме Айказунц (с русским окончанием -ц), что является результатом адаптации к русской грамматике, но первоначальная форма — именно Айказуни — точнее передаёт её древнее значение.