Фамилия Айказ — редкая и неочевидная с точки зрения русского словообразования. Её происхождение, скорее всего, не славянское, а тюркское или армянское, и чтобы понять, кем могли быть предки, нужно разобрать основу без привычных русских суффиксов.

В фамилии нет типичных для России окончаний -ов, -ин или -ский. Это значит, что её, вероятно, принесли в русский язык в уже готовом виде — как прозвище или родовое имя. Если исходить из тюркских языков, основа «айказ» может распадаться на «ай» (луна, месяц) и «каз» (гусь). В тюркской ономастике «лунный гусь» — возможное поэтическое прозвище: так могли назвать человека с белыми волосами, светлой кожей или за особую стать. Вторая версия — от тюркского «айка» (качать, колебать) с добавлением аффикса -з, что дало бы прозвище «качающийся» или «неустойчивый», но это менее вероятно, так как в фамилиях чаще закрепляются имена-метафоры, чем описания движений.

Есть и армянский след. В Армении распространено имя Айказ (Հայկազ), которое восходит к имени легендарного прародителя армян — Айка (Հայկ). Суффикс -аз указывает на принадлежность: Айказ буквально означает «из рода Айка», «потомок Айка». Это древнее личное имя, которое могло перейти в фамилию без изменений. Если предки носителя фамилии были армянами, то Айказ — не прозвище, а прямое указание на происхождение от знатного или мифологического предка.

География фамилии подсказывает, что она встречается в Закавказье, на Северном Кавказе и среди армянских общин России. В русских документах XVIII–XIX веков такие фамилии могли записывать за переселенцами из Армении или за тюркоязычными народами (например, кумыками или ногайцами). В любом случае, это не крестьянская фамилия, возникшая из ремесла, а скорее родовое имя, которое носили с собой. Окончательного ответа, какая из версий верна, нет, но армянская выглядит надёжнее: имя Айказ как личное зафиксировано в истории, а «лунный гусь» — красивая, но спекулятивная догадка.