Фамилия Айриева — довольно редкая и звучит не по-русски, что сразу подсказывает: её корни не в славянской ономастике. В русском языке нет исконного слова «айрий» или «айри», поэтому основу нужно искать в тюркских или кавказских языках. Скорее всего, фамилия образована от личного имени Айри (или Айра), которое в переводе с некоторых тюркских наречий означает «месяц» или «луна». Суффикс -ев указывает на принадлежность: «чей?» — Айриев, то есть потомок человека по имени Айри. Окончание -а в женском варианте (Айриева) — стандартная русская грамматическая форма для женщин.

Вероятнее всего, фамилия происходит из среды народов Северного Кавказа или Поволжья, где имена с корнем «ай» (луна, месяц) распространены у кумыков, балкарцев, татар. Например, у кумыков есть мужское имя Айри, а у народов Дагестана — Айра. В таком случае фамилия Айриев/Айриева могла появиться в XIX — начале XX века, когда у горцев и татар начали массово фиксировать фамилии по русскому образцу: к имени отца добавляли суффикс -ов/-ев. То есть предок нынешних носителей фамилии, скорее всего, был человеком, которого звали Айри, а его дети и внуки стали Айриевыми.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с осетинским именем Айра, которое имеет древние иранские корни и тоже связано с понятием «светлый» или «благородный». В осетинском языке слово «айр» означает «огонь» или «свет». Однако суффикс -ев в осетинских фамилиях встречается реже, чем -ты или -он, поэтому эта гипотеза слабее.

Интересно, что фамилия Айриева не имеет варианта с суффиксом -ов (Айриов), что говорит о её относительно позднем оформлении — в период, когда окончание -ев уже вытеснило -ов в некоторых тюркских заимствованиях. Если бы фамилия возникла раньше, в XVI–XVII веках, она могла бы звучать как Айров или Айринов. Поскольку фамилия редкая, её носители, вероятно, сконцентрированы в одном или нескольких регионах — например, в Дагестане, Кабардино-Балкарии или среди татар Татарстана. Точных данных о географии в открытых источниках нет, но это характерно для малочисленных родовых фамилий.