Фамилия Азади — редкий случай, когда корень не славянский, а тюркско-персидский. Она не вписывается в привычную модель русских фамилий на -ов/-ев или -ин, и это сразу подсказывает её происхождение. Основа — персидское слово «азад» (آزاد), которое означает «свободный», «благородный», «независимый». В тюркских языках, особенно в азербайджанском и татарском, это слово закрепилось как личное имя Азад или Азат, а также как компонент сложных имён (например, Азатбек). Суффикс -и в фамилии указывает на восточную, чаще всего иранскую или тюркскую, модель образования: в Азербайджане, Иране, Турции и среди народов Кавказа фамилии с таким окончанием (Гаджиев — Гаджи, Алиев — Али) образуются от имени отца. То есть Азади — это «сын Азада» или «принадлежащий роду Азада».

Географически фамилия Азади встречается в основном у народов, говорящих на тюркских языках: у азербайджанцев, турок, татар, а также у иранцев и курдов. В России она редка и, скорее всего, принадлежит потомкам выходцев из Закавказья или Средней Азии. Если ваш предок носил фамилию Азади, он, вероятно, был мусульманином, а имя Азад ему дали с пожеланием свободы и благородства — не ремесленное прозвище, а идеологически окрашенное имя.

Есть и менее вероятная версия: фамилия могла возникнуть у русских старообрядцев или крестьян как искажение диалектного слова «азарный» или «азат» (в северных говорах — «озорной»). Но эта гипотеза слабая, так как в русской ономастике нет примеров фамилий на -и от таких основ. Словарь Б. Унбегауна «Русские фамилии» не упоминает Азади, что подтверждает её нерусское происхождение.

Таким образом, Азади — фамилия, которая хранит память о восточном имени с сильным значением: её носители — потомки человека, которого назвали «свободным».