Фамилия Азами — редкий случай, когда прозвище или имя перешло в наследственное именование почти без изменений, без типичных русских суффиксов -ов, -ин или -ский. Это сразу указывает на то, что перед нами не исконно русская фамилия в привычном смысле, а скорее фамилия восточного или кавказского происхождения, которая бытует в русскоязычной среде уже в готовом виде.

В основе фамилии лежит арабское имя Азам (или Азам-бек), которое переводится как «великий», «могучий», «решительный». В тюркских языках, особенно у народов Кавказа и Поволжья, это имя было распространено, а форма Азами — это либо родительный падеж (буквально «из рода Азама»), либо вариант с притяжательным аффиксом, указывающим на принадлежность. То есть носитель фамилии Азами — потомок человека по имени Азам.

Интересна география. Фамилия Азами встречается у азербайджанцев, татар, кумыков и народов Дагестана. В русских документах XIX — начала XX века её могли записывать без изменений, так как она не склонялась по падежам и не требовала русификации. В отличие от фамилий на -ов, которые образовывали от той же основы (Азамов), форма Азами сохранила исходную национальную огласовку.

Вторая, менее вероятная версия связывает фамилию с арабским словом «азам» в значении «кости» или «скелет». В этом случае прозвище мог получить костлявый, высокий человек. Но эта гипотеза слабая: прозвища от частей тела редко переходят в фамилии без дополнительного суффикса, а в восточной ономастике имя Азам встречается повсеместно, в отличие от прозвища «Кости».

Таким образом, фамилия Азами — это пример фамилии-патронима, которая не прошла через русскую суффиксальную обработку. Предки современных носителей, скорее всего, были людьми уважаемыми (имя «Великий» давали не случайно), возможно, из духовенства или старшин, и жили на территории, где арабский и тюркский языки соседствовали с русским.