Фамилия Агами — редкая и неочевидная. В ней нет ни привычного русскому уху суффикса -ов, ни окончания -ин. Это сразу указывает на то, что перед нами не исконно русская фамилия, а заимствованная или искусственно русифицированная. Скорее всего, она пришла из тюркских или кавказских языков, где слово «ага» означает «господин», «старший», «хозяин». В таком случае Агами — это форма родительного или принадлежного падежа: «сын аги», «из рода Аги». То есть фамилия образована от прозвища или имени Ага (или Аг) с добавлением окончания -и, которое в некоторых языках (например, в азербайджанском или турецком) передаёт значение «принадлежащий».

Вторая версия, менее распространённая, но возможная — связь с армянским именем Агам (Агамемнон в сокращении) или с грузинским «агами» (буквально «господин»). В таком случае фамилия могла возникнуть у представителей духовенства или знати, где титул «ага» был частью обращения. Географически фамилия Агами встречается в Закавказье, на Северном Кавказе, а также у тюркских народов Поволжья, но везде — как единичные случаи, а не массовое явление.

Интересная деталь: в русском контексте фамилия могла появиться через канцелярскую запись. Когда в XIX веке крестьянам или горцам давали фамилии, чиновники часто записывали имя отца или прозвище в той форме, в какой слышали. Так «Ага» мог превратиться в «Агами» — без типичного русского суффикса, просто с сохранением исходного окончания. Поэтому предки носителя фамилии скорее всего были уважаемыми людьми в своей общине — старейшинами, зажиточными хозяевами или мелкими землевладельцами, которых называли «ага» или «агой».

Сравнение с похожими фамилиями (Агаев, Аганов, Агабеков) показывает, что Агами стоит особняком: она не получила «русифицирующего» суффикса, что делает её более «прозрачной» для этимолога, но более редкой в документах. Если искать однокоренные варианты, то в армянской среде встречается фамилия Агамян, а в турецкой — Агаоглу. Агами — скорее всего, результат записи на слух, где окончание -и закрепилось как фамильный маркер.