Фамилия Азанчевская — редкий случай, когда географический корень спорит с личным именем, и обе версии выглядят убедительно. При этом сама фамилия явно польско-белорусского происхождения: суффикс -ский/-цкий в женской форме указывает на дворянский или шляхетский род, а сама фамилия образована от названия места.

Первая и самая прямая версия — топонимическая. Фамилия могла возникнуть от названия населённого пункта Азанчево или Азанчи. Такие села и хутора встречались на территории бывшей Речи Посполитой — в современной Беларуси и восточной Польше. Если предок владел землёй или жил в таком месте, его потомки получали прозвание «Азанчевский» — по принципу «из Азанчева». В этом случае фамилия означает «выходец из Азанчева» или «владелец Азанчева».

Вторая версия — от тюркского или татарского имени Азанча. Корень «азан» восходит к арабскому «азан» (призыв к молитве), а в тюркских языках так могли называть муэдзина или человека, родившегося во время призыва. Суффикс -ча в татарских именах (как в Кутузча, Алтынча) давал уменьшительное или прозвищное значение. Если предок был крещёным татарином на русской службе, его потомки вполне могли получить фамилию Азанчевские. Эта версия менее популярна, но лингвистически состоятельна, особенно если учесть, что в XVI–XVII веках татарская знать активно вливалась в шляхту Великого княжества Литовского.

Сама форма «Азанчевская» — женская, от мужской «Азанчевский». Окончание -ая в русской традиции закрепилось за женщинами, хотя в польском языке форма «Azanczewska» звучала бы так же. Встречается и вариант «Азанчевская» с ударением на втором слоге, что ближе к польскому произношению.

Интересно, что фамилия практически не имеет однокоренных «близнецов» в русском языке. Нет массовых Азанцевых или Азанчовых — это говорит об узком ареале бытования. Скорее всего, род Азанчевских был немногочисленным, оседлым, а не разбросанным по всей империи.

Итог: если ваши предки — Азанчевские, с высокой вероятностью они происходят из мелкопоместной шляхты западных губерний (Могилёвской, Витебской, Гродненской) или из белорусских земель, где фамилия на -ский была маркером дворянского статуса. Корень названия — либо забытая деревня Азанчево, либо татарское имя, принесённое в Литву в эпоху средневековья.