Фамилия Азарушкина — редкий пример двойной суффиксации по модели -ушк-ин. Такая цепочка встречается в основном в северных и центральных русских говорах: сперва уменьшительно-ласкательный суффикс -ушк- (как в словах «головушка», «матушка»), а затем притяжательный -ин. В основе лежит имя Азар — просторечная форма канонического имени Азарий, которое в переводе с древнееврейского означает «помощь Божья». Реже Азаром в народе могли называть человека с горячим, «заразным» нравом, от глагола «заразить» в значении «увлечь, раззадорить», но для фамилии эта версия менее вероятна.

Первым звеном цепочки стало прозвище или домашнее имя Азарушка — ласковое обращение к Азару, вроде «наш маленький Азар». От него и пошла фамилия: «чей?» — Азарушкин, то есть сын, внук или человек из семьи Азарушки. Окончание -а в современной записи указывает на женскую форму, но по сути это та же фамилия, только в употреблении применительно к женщине. В документах XIX — начала XX века такие фамилии с двойным суффиксом часто фиксировали в Вологодской, Архангельской и Вятской губерниях, где крестьянские прозвища охотно «уменьшали» до домашних форм.

Фамилия редкая и не попала в массовые справочники. Её носители, скорее всего, происходят из крестьянской или мещанской среды — в этих сословиях именования с -ушк-ин бытовали как семейные прозвища, а не официальные родовые прозвища дворян. Сравните с однокоренными Азаров, Азаркин, Азарёнков — у всех одна основа, но разная суффиксация: -ов типичен для центра России, -ин — для севера, а -ушкин — локальный вариант, который почти не выходил за пределы своей губернии.

Именно двойной суффикс делает Азарушкина особенной. В ономастике такая модель — маркер неформального, внутрисемейного обихода. Если Азаров мог стать фамилией приказчика или священника, то Азарушкин оставался «домашним» именем, которое закрепилось в документах случайно — например, при переписи в деревне, где писарь записал человека так, как его звали соседи. Поэтому фамилия не «вышла в люди» и не разошлась по стране, а сохранилась узко, чаще всего на севере.