Фамилия Азгарова — женская форма от Азгаров, и её разбор стоит начать с суффикса, который сразу выдает происхождение. Суффикс -ов вписывается в классическую русскую патронимическую модель: фамилию образовали от прозвища или имени Азгар, добавив стандартный вопрос «чей?» — то есть «сын Азгара». Ударение в исходной форме, скорее всего, падает на второй слог: Азга́ров.

Корень азгар — тюркский, хорошо знакомый в татарской, башкирской и казахской ономастике. Он состоит из двух частей: «аз» (малый, реже — счастливый) и «гар» (добытчик, мужчина либо суффикс принадлежности). В тюркских языках имя Азгар (или Азгәр) встречается как личное имя со значением «маленький мужчина» или, по другой версии, «счастливый воин». Встречается и вариант «Азгер» — с тем же корнем, но с другим огласованием.

Носители фамилии Азгаровы исторически сосредоточены в Поволжье и на Южном Урале — в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской области. Среди татар и башкир фамилии на -ов часто давали по отцу, и Азгаров — типичный пример: предок носил имя Азгар, а потомки записались по русской административной модели. В метрических книгах XIX века фамилия встречается у крещёных татар и у мусульман, что говорит о её давнем бытовании в разных конфессиональных группах.

Интересная деталь: в отличие от многих тюркских фамилий на -ов, где основа легко переводится («Тимеров» — железо, «Булатов» — сталь), Азгаров не имеет прямого предметного значения. Это чисто антропонимическая основа, то есть имя, которое само по себе было прозвищем или личным именем, а не описанием профессии или внешности. Поэтому версия о ремесле — например, что предок был «азгаром» (если бы такое слово существовало) — не подтверждается ни словарями, ни архивными записями.

Встречается и вариант фамилии с окончанием -ев (Азгарев), но он редок и, вероятно, возник из-за ошибки писарей, которые в XIX веке путали суффиксы в непривычных тюркских основах. Основная и исторически верная форма — Азгаров.